蒙娜麗莎的對稱美學：黃金比例與對稱性的衝突

「美存在於觀看者的眼中」，這是瑪格麗特·沃爾夫·漢格福德在其1878年的小說《莫莉·鮑恩》中所寫的句子；莎士比亞在《愛的徒勞》中也曾表達過類似的觀點：「美是由眼睛的判斷所購買的」。這些觀點甚至被追溯到柏拉圖的時代。然而，數世紀以來，人們一直在試圖找到客觀的方式來描述這種難以言喻的美感（更廣泛地說，是美學）。某些形狀或形式是否比其他更具吸引力？視覺吸引力是否可以透過遵循某些普遍規範來編碼，甚至預測？是否存在一個美的公式、一個評分標準，或是一種測量它的方法？

在數位時代，這些問題變得更加重要，因為我們習慣於用數字來評分一切。從基於上傳照片評分吸引力的AI網站，到旨在為整形手術提供指南的醫學研究，尋找一種數學方式來評估美的追求已經在多種情境中出現。

最早嘗試用數學來框架美學的嘗試之一出現在文藝復興時期。例如，安德烈亞·帕拉第奧受到公元前1世紀維特魯威思想的啟發，提出了至今仍被使用的建築定量建議。這個時期最受歡迎的觀念之一是黃金比例，這個約等於1.618的數字早在古希臘時期就被知曉，並在歐幾裡得的《幾何原本》中討論過。義大利數學家盧卡·帕西奧利在其三卷本著作《神聖比例》（1509年）中推動了這一觀唸的普及，他將黃金比例稱為「神聖比例」。

帕西奧利對黃金比例讚不絕口，用「本質」、「奇妙」和「至高無上」等詞語來描述其效果，並特別推崇黃金矩形的和諧感。他的朋友，偉大的達文西，也從帕西奧利那裡學習數學，並為他的書貢獻了60幅插圖，這無疑加強了這一觀唸的影響力。

對稱性則被許多歷史人物（包括柏拉圖、亞里斯多德和維特魯威）視為美的主要貢獻者。就人類的面孔和身體而言，對稱性之所以被認為有吸引力，可以從進化的角度來解釋——對稱性表明健康，因此適合成為繁殖伴侶；沒有缺陷的面部或缺失的肢體。這種生物學標準僅適用於雙側對稱性：即左右兩側是彼此的映象。但設計可以出於美學原因而包含更多的對稱性——例如，透過使它們在多個軸上成為映象，而不僅僅是一個。這種對稱性在波斯和莫臥兒的查爾巴格花園、伊斯蘭藝術、藝術家M·C·埃舍爾的圖案以及更普通的幾何形狀中都可以找到。

哈佛數學家喬治·戴維·伯克霍夫在1933年提出了一個數學公式，其中物體的「美學度量」M等於其「秩序」O除以其「複雜性」C。然而，定義這些術語，更不用說給它們賦予數值，是非常困難的，正如伯克霍夫自己所承認的那樣。自那以後，有幾項相互矛盾的研究透過實驗檢驗了伯克霍夫的論點，或提出了替代他推測公式的方案（例如，M = O × C而不是M = O ÷ C）。然而，所有這些矛盾的工作中出現了兩個廣泛的共識：首先，當秩序增加時，美學度量也會增加；其次，對於具有更多對稱性的物體，這種秩序更大。換句話說，使物體更加對稱應該會使其更加美麗。

我們將用蒙娜麗莎來測試這一點，許多人認為她符合黃金比例的美學標準。然而，就基於對稱性的替代標準而言，她卻有些失敗，甚至未能透過雙側對稱性測試。因此，讓我們透過使她更加對稱來給她一個數學改造，看看她是否會因此變得更加美麗。

首先，將臉的左半部分複製到右側（你需要稍微拉伸它以恢復到原始大小）。不幸的是，這並不太奏效——這使她看起來有點呆滯，頭骨尖尖的，鼻子像傑拉爾·德帕迪約。然而，讓我們堅持下去——透過進一步剪下、貼上和調整大小，使她更加對稱。像這樣：

你可能會指出，這並沒有使她變得更美，反而更醜了。但你可以聽到數學家們的歡呼，因為蒙娜現在在水平和垂直軸上都是對稱的——就像一個矩形一樣！因此，讓我們繼續——將蒙娜切成四分之一，並將頂部楔形的四個副本貼上在一起，形成一個整體：

好吧，我承認她開始看起來有點腫脹，像一個惡意的足球。但請注意，她現在在對角線上也是對稱的：也就是說，她在對稱性上已經上升到與正方形相同的水平！如果你將同一個楔形縮小成更薄的三角形，並將八個副本貼上在一起，你會得到一個八邊形。（看看你是否能發現八個對稱軸。）將它縮小得更多，以便十二個副本可以拼在一起，你就會得到一個十二邊形。

你注意到了嗎？對稱性正在發揮它的魔力。蒙娜再次變得美麗，以一種花狀、桌布般的方式。因此，將每個楔形縮小到你能做到的最薄的薄片，然後將盡可能多的薄片貼上在一起。

現在你可以預見最終會發生什麼。在她的最終轉變中，蒙娜將化身為一個圓形——最對稱的圖形。她的本質仍將滲透在這個圓盤中，但以一種混合的、抽象的方式。

這是一種全新的美學——非常幾何化、非常有秩序，與原始蒙娜麗莎的黃金矩形吸引力非常不同。也許這是柏拉圖、伽羅瓦和伯克霍夫試圖捕捉的東西的提煉。

這指出了在尋找超越個人品味差異的普遍美學標準時的一個困難。我們探討的兩個啟發式方法——黃金比例和對稱性——都可能產生被普遍欣賞的美。然而，由此產生的美學在本質上是相互衝突的。