數位驗證碼：你每天都在用的數學小魔法

在《數學家的辯護》一書中，哈代曾寫道：「數論是數學中最無用的分支之一。」他認為，正因為數論遠離日常生活，它才能保持純粹與優雅。然而，哈代的觀點在現代社會中顯然站不住腳。自他1947年去世以來，數論的應用已經滲透到我們生活的方方面面，從RSA加密演演算法到隨機數生成器，從錯誤校正到影象處理，甚至是蜂窩通訊網路的最佳化，數論的影子無處不在。

不過，數論還有一個更為低調但同樣重要的應用——你可能從未聽說過，卻每天都在使用它。這個應用就是「數位驗證碼」。如果你想親眼見證它的存在，只需走進你家附近的超市。

想像一下，你是一名佛羅裡達州的酒保，一個看起來剛滿投票年齡的年輕人遞給你他的駕照，並點了一杯古典雞尾酒。你心生懷疑，仔細檢查駕照上的資訊：生日是1月24日，駕照號碼的最後三位是162。你冷笑一聲，拒絕了他：「別裝了，年輕人，這張駕照是假的。去隔壁酒吧試試吧，他們的服務生可不懂什麼是數位驗證碼。」

你是如何識破這張假駕照的呢？根據康奈爾大學數學探索俱樂部的解釋，像伊利諾伊州和佛羅裡達州這樣的州份，在製作駕照號碼時有特定的規則。他們會根據你的姓名、性別和出生日期生成號碼，並在最後加上一個「數位驗證碼」。

那麼，什麼是數位驗證碼？顧名思義，它是一個（或多個）用來驗證前面數字的數字。它就像一個安全功能，但並非用於防止身份盜竊，而是為了避免你誤讀或誤寫數字。例如，將一個模糊的8誤認為3，或者不小心交換了兩個數字的位置。

以佛羅裡達州的駕照為例，發證機構會使用線性函式將出生月份和日期編碼成一個三位數，並將其作為駕照號碼的最後三位。對於男性，這個數字的計算公式是40×(月份−1)+日期；對於女性，則會在這個數字上再加500。因此，一個出生在1月24日的年輕男性，其駕照號碼的最後三位應該是024，而我們剛才提到的162則對應於5月2日出生的人——顯然，這張駕照是假的。

在當今這個被數字主宰的時代，數位驗證碼的應用無處不在。例如，書籍的國際標準書號（ISBN）就包含一個數位驗證碼。ISBN可以是10位或13位，取決於書籍的出版年份，而最後一位就是驗證碼。計算這個驗證碼的過程比佛羅裡達駕照的例子複雜得多：首先，將前12位數字交替乘以1和3，然後將這些加權乘積的總和除以10，再用10減去餘數，結果就是驗證碼。如果計算結果為10，則驗證碼為0。

除了書籍，許多商品也有通用產品程式碼（UPC），也就是你常見的條碼下方的數字串。這些看似隨機的數字中，也隱藏著數位驗證碼。例如，找到一個13位數的條碼，將奇數位的數字相加，再將偶數位的數字相加。將偶數位的總和乘以3，再加上奇數位的總和，最終的結果應該是10的倍數，也就是以0結尾。

信用卡也有數位驗證碼，這意味著網站可以在不聯絡銀行的情況下，判斷你是否輸入了錯誤的卡號。在英國，國民健康服務（NHS）號碼的最後一位也是驗證碼。計算方法是將前九位數字分別乘以10到2，然後將結果相加，再除以11，餘數就是驗證碼。

當然，數位驗證碼並非完美無缺。有些演演算法無法區分像1和00001這樣的序列，有些則能捕捉到錯誤的數字，卻無法發現交換位置的數字對。即使演演算法運作完美，也可能因為模10運算而偶然得出正確的結果。然而，總體來說，數位驗證碼是一個小技巧，卻能帶來巨大的回報。它可以幫你省去無數的麻煩，讓你在派對上展示一個極客的小把戲，或者讓一個佛羅裡達的年輕人度過一個難忘的夜晚。

而這一切，都要歸功於數論。哈代或許會感到懊惱，但數論的確是數學中的女王，永遠長存。