百年數學謎題終破解！杜德尼的切割法被證實為最佳解

研究人員透過一種新穎的方法，證明瞭杜德尼著名的切割問題的原始解法確實是最佳解。1907年，英國作家兼數學家亨利·歐內斯特·杜德尼提出了一個引人入勝的謎題：能否將一個等邊三角形切割成最少的塊數，並重新排列成一個完美的正方形？僅僅四週後，他便揭曉了一個優雅的解法，證明只需要四塊即可完成。這種將一個形狀切割並重新排列成另一個形狀的方法被稱為「切割問題」。切割問題的核心挑戰在於最小化將一個多邊形轉換成另一個多邊形所需的塊數，這個問題數百年來一直吸引著數學家、謎題愛好者和問題解決者。

杜德尼的謎題至今仍是幾何切割問題中最著名的例子之一。除了對數學家的吸引力外，切割問題在紡織設計、工程和製造等領域也有實際應用。在杜德尼提出解法120多年後，一個問題仍然存在：是否可以用少於四塊的解法來解決這個謎題？

在一項突破性的研究中，日本北陸先端科學技術大學院大學的教授上原龍平和助理教授鎌田東南，以及麻省理工學院的教授埃裡克·D·德邁恩，終於回答了這個問題。他們證明瞭杜德尼的原始解法是最佳解。上原教授表示：「經過一個多世紀，我們終於破解了杜德尼的謎題，證明等邊三角形和正方形之間不存在三塊或更少的多邊形塊的共同切割法。我們利用了一種新穎的證明技術，即匹配圖，來達成這一成果。」

這項研究於2024年12月5日發表在開放存取平臺arXiv上，並於2025年1月在第二十三屆LA/EATCS-日本理論電腦科學研討會上發表。在研究中，研究人員證明瞭一個關鍵定理：當切割塊不允許翻轉時，等邊三角形和正方形之間不存在三塊或更少的切割法。杜德尼的原始解法也未涉及翻轉。為了證明這一點，研究人員首先透過分析問題的幾何限制，排除了兩塊切割法的可能性。

接著，他們系統性地探討了三塊切割法的可能性。利用切割的基本性質，他們縮小了可行的三塊切割法的組合範圍。最後，他們使用匹配圖的概念，嚴格證明瞭這些三塊切割法的組合均不可行，從而證明正方形和等邊三角形之間無法用三塊或更少的切割法完成轉換。

匹配圖在他們的證明中扮演了核心角色。在這種方法中，切割過程中使用的切割塊被簡化為一個圖結構，捕捉了切割塊的邊和頂點之間的關係，形成三角形和正方形。研究人員發現，這種方法不僅適用於杜德尼的謎題，還可以廣泛應用於其他切割問題。

上原教授解釋道：「切割和重新排列形狀的問題據說自人類開始處理動物皮毛製作衣物時就已存在。這種問題在任何使用薄材料的場合都會遇到。我們的證明為理解和解決切割問題開闢了新的視野。」

儘管許多切割問題已透過找到特定塊數的解法得到解決，但從未有過正式證明表明某種解法是最佳的，即使用最少的塊數。這項研究中開發的技術首次證明瞭這種最佳性。上原教授總結道：「我們的技術證明瞭在現實世界的切割和重新排列問題中，最佳切割法是可能的。隨著進一步的完善，它還可能引領出全新的切割問題解法。」

參考文獻：Erik D. Demaine, Tonan Kamata 和 Ryuhei Uehara 的《杜德尼的切割法是最佳解》，2024年12月5日，arXiv。DOI: 10.48550/arXiv.2412.03865。這項研究由日本學術振興會資助。