達文西的數學密碼：藝術中樹木的奧秘

一項最新研究揭示，我們在藝術作品中辨識樹木的能力，竟然與一個名為「分支直徑比例指數」的數學原理息息相關。這個在真實樹木中發現的模式，跨越了不同的藝術風格與文化，甚至讓抽象的描繪也能被輕易認出。研究由密西根大學與新墨西哥大學的學者共同進行，探討了樹木分支的相對厚度如何影響其外觀的樹木特徵。

「藝術中的某些特質看似主觀或美學，但我們可以用數學來描述，這真的很酷。」該研究的主要作者高靜怡（Jingyi Gao）表示。高靜怡在密西根大學數學系就讀時進行了這項研究，並與現任新墨西哥大學研究助理教授、密西根大學複雜系統研究中心成員的米切爾·紐伯裡（Mitchell Newberry）合作。高靜怡目前是威斯康辛大學的博士生。

研究人員特別指出，藝術家們保留並運用了與樹木分支複雜性和比例相關的一個量值，來影響觀眾是否及如何感知樹木。「我們發現了一個普遍適用的原理，適用於藝術與自然中的所有樹木，」紐伯裡說，「這是許多不同風格、文化或世紀的樹木描繪的核心。」

這項研究發表於《PNAS Nexus》期刊，並以分形幾何為基礎。分形是指在不同尺度上重複相同圖案的結構。高靜怡解釋：「如果你觀察一棵樹，它的分支會不斷分叉，子分支重複了母分支的圖案。」

研究人員分析了一個名為「分支直徑比例指數」的數值，它描述了分支直徑的變化，即每個大分支上有多少個小分支。「我們測量了樹木的分支直徑比例，它與分形維度的作用相同，」紐伯裡說，「它顯示了當你放大時，有多少更小的分支。」

為了讓研究對藝術與數學領域的人士都易於理解，高靜怡與紐伯裡將數學複雜性控制在著名的畢達哥拉斯定理（a² + b² = c²）範圍內。粗略來說，a和b可以被視為從直徑為c的大分支延伸出來的小分支直徑。指數2對應於分支直徑比例指數，但真實樹木的數值介於1.5到3之間。

研究人員發現，在保留這一因子的藝術作品中，觀眾能輕易辨識出樹木，即使這些樹木被剝去了其他特徵。他們分析了來自世界各地的藝術作品，包括印度西迪·賽義德清真寺的16世紀石窗雕刻、日本畫家松村吳春的18世紀作品《櫻花》，以及荷蘭畫家皮特·蒙德里安的兩幅20世紀初作品。

「印度的清真寺雕刻最初啟發了這項研究，」紐伯裡說，「儘管它們的分支高度風格化，幾乎像蛇一樣彎曲，但這些樹木仍有一種美麗的自然比例感。」這讓他開始思考，是否存在一個更普遍的因子影響我們對樹木的辨識。研究人員從達文西對樹木的分析中獲得線索，發現分支厚度至關重要。

高靜怡與紐伯裡發現，某些雕刻的分支直徑比例指數比《櫻花》中的樹木更接近真實樹木，儘管後者看起來更為自然。「這讓我非常驚訝，因為吳春的畫作更為寫實，」高靜怡說。紐伯裡則認為，擁有更寫實的分支直徑比例因子，能讓藝術家在更具創意的方向上描繪樹木，同時仍讓它們看起來像樹木。

蒙德里安的作品為這一想法提供了一個意外的實驗。他繪製了一系列描繪同一棵樹的作品，但風格逐漸抽象。在1911年的作品《灰樹》中，蒙德里安僅用一系列黑線條在灰色背景上表現樹木。「如果你展示這幅畫給任何人看，它顯然是一棵樹，」紐伯裡說，「但沒有顏色、沒有葉子，甚至沒有真正的分支。」

研究人員發現，蒙德里安的分支比例指數落在真實樹木的範圍內，為2.8。然而，在1912年的《開花的蘋果樹》中，這一比例消失了，觀眾對物體是否為樹木的共識也隨之消失。「人們看到了舞者、魚鱗、水、船，各種各樣的東西，」紐伯裡說，「這兩幅畫的唯一區別——它們都是灰色背景上的黑色筆觸——在於是否存在分支直徑比例。」

高靜怡設計了這項研究，並測量了第一批樹木，作為她在密西根大學數學研究體驗專案的一部分，該專案由詹姆斯·範洛應用數學與物理學本科生支援基金資助。紐伯裡則以密西根學會初級研究員的身份參與了這項研究。兩位研究人員都強調了密西根大學跨學科空間對這項研究的重要性。

「如果沒有複雜系統研究中心與數學系之間的互動，我們無法完成這項研究，」紐伯裡說，「這個中心是密西根大學的一大特色，數學在這裡成為跨越學科界限的共同語言。我也從學會中數學家與藝術史學家的對話中獲得了極大的啟發。」