打破量子熵的迷思：為何混亂總是勝出

熵總是增加的，但在量子系統中，傳統的熵測量方法似乎顯示熵是恆定不變的。維也納科技大學（TU Wien）的研究人員透過考慮夏農熵（Shannon entropy）解決了這個悖論，夏農熵顧及了測量中的不確定性。他們的研究證明，即使在孤立的量子系統中，混亂也會自然增加，從而使量子力學與熱力學達成一致。

熱力學第二定律是自然界的基本原理之一。它指出，在一個封閉系統中，熵——即混亂程度的度量——必須隨著時間的推移而增加。這就解釋了為什麼有序的系統會自然瓦解：冰會融化成水，破碎的花瓶永遠不會自行重新組合。然而，量子物理學似乎對這一規則提出了挑戰。從數學上看，量子系統中的熵似乎保持不變，這引發了一個令人困惑的矛盾。

維也納科技大學的一個研究團隊對這一明顯的不一致性進行了研究，發現答案取決於如何定義熵。當以符合量子力學的方式測量熵時，矛盾就會消失。就像在經典物理學中一樣，量子系統中的熵也會增加，使原本有序的系統走向混亂。

雖然熵常常與混亂聯絡在一起，但二者並不完全相同。什麼看起來是混亂的可能是主觀的，但熵有精確的數學定義。它量化了一個系統是處於一個非常特定的狀態（低熵），還是處於許多看似隨機的可能狀態之一（高熵）。

維也納科技大學原子與亞原子物理研究所的馬庫斯・胡伯（Marcus Huber）教授解釋說：「熵是衡量一個系統是處於一個特殊、非常特定的狀態（此時系統具有低熵），還是處於許多看起來或多或少相同的狀態之一（此時系統具有高熵）的指標。如果你從一個非常特定的狀態開始，例如，一個裝滿了按顏色精確分類的球的盒子，那麼如果你稍微搖動一下盒子，隨著時間的推移，就會形成一個熵更高的混合狀態。這只是因為有序的狀態只有少數幾種，而混亂的狀態卻有很多種。」

維也納科技大學的馬克斯・洛克（Max Lock）說：「從物理學的角度來看，這就是時間方向的定義。過去，熵較低；未來，熵較高。」然而，量子物理學在這裡遇到了一個問題：數學家和物理學家約翰・馮・諾伊曼（John von Neumann）證明，根據量子物理學定律，量子系統中的熵根本不會改變。如果你擁有關於一個量子系統的完整資訊，所謂的「馮・諾伊曼熵」總是保持不變；你無法判斷時間是在向前還是向後流動，每一個時間點在物理學上都是一樣的。

維也納科技大學的湯姆・裡夫林（Tom Rivlin）說：「但這種觀點忽略了一些重要的東西。在量子物理學中，你實際上永遠無法擁有關於一個系統的完整資訊。我們可以選擇一個我們想要測量的系統屬性——即所謂的可觀測量。例如，這可以是一個粒子的位置或速度。量子理論會告訴我們獲得不同可能測量結果的機率。但根據量子理論，我們永遠無法擁有關於系統的完整資訊。」

即使我們知道了機率，一次特定測量的實際結果仍然是一個驚喜。這種驚喜元素必須包含在熵的定義中。與其計算整個系統完整量子態的馮・諾伊曼熵，你可以計算一個特定可觀測量的熵。前者不會隨時間改變，但後者可能會。

這種型別的熵被稱為「夏農熵」。它取決於測量不同可能值的機率。維也納科技大學的弗洛裡安・邁爾（Florian Meier）說：「你可以說夏農熵是衡量你從測量中獲得多少資訊的指標。如果只有一個可能的測量結果，且其發生的機率為100%，那麼夏農熵為零。你不會對結果感到驚訝，也不會從中學到任何東西。如果有許多可能的值，且它們的機率都相近，那麼夏農熵就很大。」

研究團隊現在已經證明，如果你從一個夏農熵較低的狀態開始，那麼在一個封閉的量子系統中，這種熵會增加，直到達到一個最大值附近並趨於穩定——這與經典系統中的熱力學規律完全一致。隨著時間的推移，測量結果變得越來越不確定，觀測時可能會經歷的驚喜也就越大。這一點現在已經在數學上得到了證明，並且透過描述幾個相互作用粒子行為的電腦模擬得到了驗證。

馬庫斯・胡伯說：「這向我們表明，熱力學第二定律在一個與外界完全隔離的量子系統中同樣適用。你只需要提出正確的問題，並使用合適的熵定義。」

馬庫斯・胡伯指出：「如果你研究的是由極少粒子組成的量子系統（例如，只有幾個電子的氫原子），那麼這些考慮就無關緊要。但如今，特別是在量子物理學的現代技術應用方面，我們常常面臨著描述由許多粒子組成的量子系統的挑戰。要描述這樣的多粒子系統，必須使量子理論與熱力學相協調。這就是為什麼我們也希望利用我們的基礎研究為新的量子技術奠定基礎。」

參考文獻：Florian Meier、Tom Rivlin、Tiago Debarba、Jake Xuereb、Marcus Huber和Maximilian P.E. Lock的《孤立量子系統中熱力學第二定律的出現》，發表於2025年1月14日的《PRX Quantum》。DOI：10.1103/PRXQuantum.6.010309