數學告訴你：洗牌的最佳方式

理論與實踐往往是兩回事。當你實際洗牌時，可能會發現牌堆中有些熟悉的序列，這表示牌並沒有如你所願地均勻混合。那麼，究竟該如何洗牌才能達到理想的分散效果？關鍵在於技巧還是耐心？答案，如同生活中的許多事情，最終都歸結於數學。

任何曾被騙去玩「52張牌撿拾」遊戲的人都知道，洗牌的方式不只一種。你可能熟悉的「過手洗牌法」，就是將牌從右手逐漸轉移到左手，用拇指從牌堆頂部滑下小疊牌。瑞典查爾摩斯理工大學的分析與機率理論教授約翰·約納森在2006年的一篇論文中描述了這種方法。雖然這種洗牌法容易學習，但在隨機化方面卻不盡理想。約納森指出，這種洗牌法的混合時間是n²logn，意味著無論你有多少張牌，都需要超過這個時間的平方才能將牌徹底混合。

考慮到標準牌堆有52張牌，這意味著需要大量的洗牌次數。南加州大學多恩西夫學院的數學教授傑森·富爾曼在2023年解釋道：「過手洗牌法需要數千次重複，實際上可能接近一萬或一萬一千次。因此，這是一種非常低效的方法。」

相比之下，「交錯洗牌法」更為有效。這種方法是將牌堆大致分成兩半，然後讓兩疊牌幾乎一張一張地交錯落下並重新組合。這種洗牌法不僅視覺上更為震撼，而且在混合牌的效率上也更高：其混合時間為³/₂ log₂n。這比過手洗牌法快得多。富爾曼表示：「經驗法則是，你大約需要七次洗牌。」這雖然比每次玩牌前的洗牌次數多，但遠低於過手洗牌法所需的五位數次數。

富爾曼進一步解釋：「如果牌堆完全混合，你只能猜對大約四張半的牌。如果你進行一次交錯洗牌，你可以猜對超過30張牌；兩次洗牌後，你可以猜對超過19張牌；三次洗牌後，你可以猜對近13張牌。」這個數字看似下降得過於緩慢，但這正是數學家戴夫·拜爾和佩爾西·戴康尼斯在1990年左右發現的「截斷現象」：隨機化突然出現，以至於在1.4 log₂ n次洗牌後，牌堆仍然遠未達到隨機狀態。

這意味著，如果你想徹底混合牌堆，你需要進行完整的七次洗牌。戴康尼斯在1990年告訴《紐約時報》：「大多數人洗牌三到四次，五次被認為是過度的。」然而，這遠遠不夠，因為這樣的牌堆「遠未達到隨機狀態」。只有當你進行七次或更多次交錯洗牌後，「隨機距離」——戴康尼斯和拜爾定義的數學量，用於描述混合程度與隨機順序的接近程度——才會低於½，使其更接近「隨機」而非「完全有序」。

不過，這裡有一個警告：不要洗得太完美。這聽起來可能違反直覺，但如果你以某種方式完美地進行交錯洗牌，那幾乎和不洗牌一樣糟糕。想證明這一點嗎？試著連續洗八次，你會發現牌堆回到了最初的狀態。

在這篇文章中，我們假設更隨機的洗牌是「更好的」，這在大多數情況下是正確的。如果你在玩牌——並且假設你並不想作弊——你希望牌的順序是不可預測的；這通常是遊戲的關鍵之一。然而，如果你洗牌過於徹底，似乎會出現一種「恐怖谷效應」。如今我們已經習慣了電腦牌局，但在1970年代，當它們首次被引入時，人們感到憤怒——不是因為技術的入侵或對傳統的挑戰，而是因為電腦洗牌的方式不對。

至少，當時的玩家是這麼認為的。《紐約時報》在1990年報導，由演算法而非人手產生的更隨機發牌讓競技橋牌玩家感到困惑；他們習慣於能夠直覺地猜測對手的牌，突然的迷失方向讓他們感到困惑。同一時期出版的一本橋牌百科全書也遭遇了同樣的反彈。戴康尼斯解釋，出版商「使用電腦來計算機率。例如，假設我的對手之間有七張紅心，那麼其中一人有四張紅心，另一人有三張紅心的機率是多少？」

這正是我們今天會理所當然地使用電腦來計算的問題——但在當時，這引起了軒然大波。戴康尼斯說：「有些機率與專家玩家的直覺相悖。專家們直覺地——並且正確地——認為牌的洗法。人們認為百科全書是錯的。」

那麼，教訓是什麼？如果你想要一個隨機的洗牌，選擇交錯洗牌法，並重複七次。但在此之後停止——否則你可能會燒掉一些橋樑。